Harmonische Schwingungen
Wann ist eine Schwingung harmonisch?
Wenn das Zeit-Auslenkungs-Diagramm eine Sinuskurve ist. Dann lässt sich die Auslenkung so berechnen:
y(t) = ymax · sin(ω · t + φ0)
y(t) = ymax · sin(ω · t + φ0)
- ω = 2πT: Kreisfrequenz
- φ0: Startwinkel, also wo die Schwingung bei t = 0 beginnt
Der Grund dafür
Die rücktreibende Kraft zieht den Körper immer zur Ruhelage zurück. Bei einer harmonischen Schwingung ist sie genau proportional zur Auslenkung (lineares Kraftgesetz):
FR = −D · y
D ist die Richtgröße, beim Federpendel die Federkonstante. Das Minus bedeutet: Die Kraft zeigt immer entgegen der Auslenkung.
FR = −D · y
D ist die Richtgröße, beim Federpendel die Federkonstante. Das Minus bedeutet: Die Kraft zeigt immer entgegen der Auslenkung.
Doppelte Auslenkung
→ doppelte Rückstellkraft
Beispiele
- harmonisch: Federpendel, Fadenpendel bei kleinen Winkeln, Stimmgabel, Metronom, Schaukel
- nicht harmonisch: springender Flummi, Trampolinspringen
Beim Flummi wirkt in der Luft nur die Gewichtskraft. Sie hängt nicht von der Höhe ab, also gilt kein lineares Kraftgesetz.
Periodendauer berechnen
Federpendel
T = 2π · √mD
- m: Masse des Körpers in kg
- D: Federkonstante in N/m
m = 0,5 kg, D = 20 N/m
T = 2π · √0,5 kg20 N/m
T ≈ 0,99 s
Fadenpendel
T = 2π · √lg
- l: Länge des Fadens in m
- g = 9,81 m/s²: Fallbeschleunigung
l = 1 m
T = 2π · √1 m9,81 m/s²
T ≈ 2,0 s
💡 Die Formel für das Fadenpendel stimmt nur bei kleinen Auslenkungswinkeln, etwa bis 5° bis 10° (Kleinwinkelnäherung). Bei größeren Winkeln wird die Periodendauer etwas länger.
Selbst üben
Wie lang muss ein Fadenpendel sein, damit T = 1 s ist?
l = g · T² / (4π²) = 9,81 m/s² · (1 s)² / 39,5 ≈ 0,25 m
Ein Federpendel hat T = 0,8 s. Man hängt die vierfache Masse an. Wie groß ist T jetzt?
T verdoppelt sich, weil die Masse unter der Wurzel steht: T = 1,6 s
Ein Federpendel schwingt mit ymax = 5 cm und T = 2 s, Start in der Ruhelage nach oben. Wo ist es nach 0,25 s?
y = 5 cm · sin(2π / 2 s · 0,25 s) = 5 cm · sin(π/4) ≈ 3,5 cm
Ändert sich die Periodendauer eines Fadenpendels, wenn man eine schwerere Kugel nimmt?
Nein, T hängt nur von der Länge l und von g ab.