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Mathematik

Die allgemeine Sinusfunktion

Jede Zahl in der Funktion verändert den Graphen von sin(x) auf eine bestimmte Art: strecken, stauchen, spiegeln oder verschieben.

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Die vier Parameter

f(x) = a · sin( b · (x + c) ) + d

aStreckung in y-Richtung (Amplitude), a < 0 spiegelt

bStreckung in x-Richtung (Periode 2π/b)

cVerschiebung in x-Richtung (nach links, wenn c > 0)

dVerschiebung in y-Richtung (nach oben, wenn d > 0)

1.3.1 Faktor a
y = a · sin(x)

Streckung bzw. Stauchung in Richtung der y-Achse
Hochpunkt bei +|a|, Tiefpunkt bei −|a|
a < 0 bewirkt zusätzlich eine Spiegelung an der x-Achse

2·sin(x) · −3·sin(x)

Amplitude = |a| f(x) = 2·sin(x) → zwischen −2 und 2 f(x) = −3·sin(x) → zwischen −3 und 3, zuerst nach unten

1.3.2 Faktor b
y = sin(b·x), b > 0

Streckung bzw. Stauchung in Richtung der x-Achse
b gibt an, wie oft eine Periode in 2π passt
b > 1: schneller (gestaucht), b < 1: langsamer (gestreckt)

sin(x) · sin(2x) · sin(0,5x)

Periode p = 2π / b = 360° / b sin(2x) → p = π sin(0,5x) → p = 4π sin(0,25x) → p = 8π

1.3.3 Summand d
f(x) = sin(x) + d

Verschiebung um |d| Einheiten parallel zur y-Achse
d > 0: nach oben
d < 0: nach unten
d ist die Höhe der Mittellinie

sin(x)+2 · sin(x)−1,5

sin(x) + 2 → Werte von 1 bis 3 sin(x) − 1,5 → Werte von −2,5 bis −0,5

1.3.4 Summand c
f(x) = sin(x + c)

Verschiebung um |c| Einheiten parallel zur x-Achse
c > 0: nach links
c < 0: nach rechts
Nullstellen und die Stellen der Hoch- und Tiefpunkte ändern sich

sin(x) · sin(x+π/2) · sin(x−2,5)

Beachte: cos(x) = sin(x + π/2) = sin(x + 90°) (π/2 im Bogenmaß, 90° im Gradmaß)

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Zusammenfassung & Beispiele

1.3.5 Zusammenfassung
alle Parameter zusammen

Parameter	Wirkung	Merkmal im Graphen
a	Streckung in y-Richtung; a < 0 spiegelt an der x-Achse	Amplitude \|a\|
b	Streckung in x-Richtung	Periode 2π/b
c	Verschiebung in x-Richtung, entgegen dem Vorzeichen	Phasenverschiebung −c
d	Verschiebung in y-Richtung	Mittellinie y = d

Beispiel 1
2,5·sin(½·(x − π/2))

a = 2,5 → Werte zwischen −2,5 und 2,5
b = ½ → Periode 2π : ½ = 4π
c = −π/2 → um π/2 nach rechts verschoben

sin(x) · sin(½(x−π/2)) · 2,5·sin(½(x−π/2))

Schritt für Schritt: sin(x) → sin(½x): x-Streckung → sin(½(x−π/2)): Verschiebung → 2,5·…: y-Streckung

Beispiel 2
2·sin(3·(x − π/6)) − 1

a = 2, b = 3, c = −π/6, d = −1
Periode 2π/3, Mittellinie y = −1
Wertebereich: −1 ± 2 = von −3 bis 1

f(x) = 2·sin(3·(x−π/6)) − 1

W = { y | y ∈ ℝ, −3 ≤ y ≤ 1 } Hochpunkt: H(π/3 | 1) Tiefpunkt: T₁(0 | −3) Tiefpunkt: T₂(2π/3 | −3)

Merke

Mittellinie bei d, Höhe einer Periode |a| (Amplitude), Länge einer Periode 2π/b, Verschiebung nach rechts um −c.

W = [d − |a| ; d + |a|]

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Werte, Hoch-, Tiefpunkte & Nullstellen

Probier es aus: Verändere die Regler und beobachte, wie sich Graph, Wertebereich und besondere Punkte mitverändern.

Ausprobieren
Interaktiver Graph

HochpunkteTiefpunkteNullstellenMittellinie y = d

a b c d

Definitionsbereich
Welche x darf man einsetzen?

Für jedes x lässt sich der Sinus berechnen, es gibt keine Lücken und keine Einschränkungen
a, b, c und d strecken, stauchen und verschieben den Graphen, ändern aber nie, welche x erlaubt sind
Der Graph setzt sich aus unendlich vielen gleichen Perioden zusammen, nach links und nach rechts
Darum reicht es, eine Periode zu untersuchen: Alles Weitere wiederholt sich im Abstand 2π/b

D = ℝ (für alle a, b, c, d) Periode p = 2π/b f(x + p) = f(x)

Wertebereich
Wie hoch und tief geht’s?

Innerhalb jeder Periode liegt der Sinus zwischen −1 und 1
a streckt das auf −|a| bis |a|, d verschiebt alles um d
b und c ändern den Wertebereich nicht (nur die Lage der Punkte)

W = [ d − |a| ; d + |a| ] Mitte der Periode: y = d Amplitude: |a| Bsp: 2·sin(…) − 1 → W = [−3 ; 1]

Hochpunkt
höchster Wert

y-Wert: d + |a|
Bei sin(x) liegt er bei x = π/2 (innerhalb jeder Periode die höchste Stelle)
Für b und c wird die Stelle umgerechnet; weitere Hochpunkte folgen im Abstand einer Periode
Bei a < 0 sind Hoch- und Tiefpunkt vertauscht

für a > 0, erster Hochpunkt: x_H = π/(2b) − c y_H = d + a weitere: x_H + k·2π/b

Tiefpunkt
tiefster Wert

y-Wert: d − |a|
Bei sin(x) liegt er bei x = 3π/2
Er liegt eine halbe Periode nach dem Hochpunkt

für a > 0: x_T = 3π/(2b) − c y_T = d − a Abstand H → T = π/b (halbe Periode)

Nullstellen
Graph schneidet die x-Achse

Ansatz: a·sin(b(x+c)) + d = 0, also sin(b(x+c)) = −d/a
Ist d = 0: Nullstellen alle halbe Periode (bei sin(x): x = k·π)
Ist |d| < |a|: zwei Nullstellen pro Periode
Ist |d| = |a|: der Graph berührt die x-Achse pro Periode nur in einem Punkt
Ist |d| > |a|: keine Nullstelle (alle Perioden liegen komplett über oder unter der x-Achse)

d = 0: x_N = k·π/b − c allgemein: u = arcsin(−d/a) x₁ = u/b − c x₂ = (π−u)/b − c (+ k·2π/b)

Beispiel
f(x) = 2·sin(3(x − π/6)) − 1

Wertebereich: d ± |a| = −1 ± 2 → [−3 ; 1]
Periode: 2π/3
Hochpunkt: x = π/6 + π/6 = π/3, also H(π/3 | 1)
Tiefpunkte: x = 3π/6 + π/6 = 2π/3, also T(2π/3 | −3); eine Periode früher T(0 | −3)
Nullstellen: sin(u) = ½, also u = π/6 oder 5π/6. Daraus x = π/18 + π/6 = 2π/9 und x = 5π/18 + π/6 = 4π/9
Probe: f(2π/9) = 2·sin(π/6) − 1 = 0 ✓

W = [−3 ; 1] H(π/3 | 1) T(0 | −3), T(2π/3 | −3) N(2π/9 | 0), N(4π/9 | 0) (jeweils + k·2π/3)